Độ biến thiên là gì? Các nghiên cứu khoa học liên quan

Khái niệm độ biến thiên

Độ biến thiên (variance) là một đại lượng thống kê dùng để đo mức độ phân tán của một tập hợp dữ liệu xung quanh giá trị trung bình. Nó cho biết các giá trị quan sát trong tập dữ liệu nằm cách xa trung bình bao nhiêu, từ đó phản ánh độ “ổn định” hoặc “dao động” của dữ liệu. Độ biến thiên càng lớn thì dữ liệu càng phân tán, ngược lại độ biến thiên thấp nghĩa là dữ liệu tập trung gần trung bình.

Khái niệm này có vai trò nền tảng trong thống kê mô tả và suy luận, là thành phần chính trong nhiều mô hình toán học và thuật toán phân tích dữ liệu. Trong học máy, độ biến thiên góp phần vào đánh giá rủi ro mô hình; trong tài chính, nó đo lường mức độ biến động của lợi suất. Bất kỳ lĩnh vực nào có liên quan đến dữ liệu đều sử dụng độ biến thiên như một công cụ phân tích cơ bản.

Không giống như các chỉ số vị trí như trung bình hay trung vị, độ biến thiên là chỉ số đo lường sự biến động tương đối, cung cấp thông tin quan trọng để so sánh, tối ưu hoặc ra quyết định trong môi trường có bất định.

Công thức và cách tính độ biến thiên

Về mặt toán học, độ biến thiên được định nghĩa là kỳ vọng của bình phương độ lệch giữa biến ngẫu nhiên và giá trị trung bình của nó. Nếu $X$ là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng $\mu = \mathbb{E}[X]$, thì độ biến thiên là:

$\mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mu)^2]$

Trong thực tế, chúng ta thường làm việc với mẫu dữ liệu rời rạc gồm $n$ quan sát. Khi đó, độ biến thiên mẫu $s^2$ được tính theo công thức:

$s^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$

Lưu ý mẫu số là $n - 1$ (thay vì $n$) để đảm bảo tính không chệch (unbiased) của ước lượng trong thống kê suy luận. Đây là điểm khác biệt giữa độ biến thiên mẫu và độ biến thiên tổng thể.

Dưới đây là bảng so sánh hai loại độ biến thiên phổ biến:

Loại	Công thức	Áp dụng
Tổng thể	$\frac{1}{n} \sum (x_i - \mu)^2$	Khi biết toàn bộ dữ liệu
Mẫu	$\frac{1}{n - 1} \sum (x_i - \bar{x})^2$	Ước lượng từ mẫu rút ra

Đơn vị và ý nghĩa thực tiễn

Độ biến thiên có đơn vị là bình phương của đơn vị gốc. Nếu dữ liệu đo chiều dài bằng mét thì độ biến thiên sẽ có đơn vị là mét vuông ($\mathrm{m}^2$). Điều này đôi khi gây khó khăn trong việc diễn giải trực tiếp, đặc biệt với các đại lượng không mang tính hình học như tiền tệ, thời gian hoặc nhiệt độ.

Vì lý do đó, người ta thường dùng độ lệch chuẩn (standard deviation) – căn bậc hai của độ biến thiên – để so sánh, trực quan hóa hoặc biểu diễn trong biểu đồ. Tuy nhiên, trong nhiều tính toán lý thuyết (ví dụ như trong phân tích phương sai – ANOVA), độ biến thiên vẫn là thành phần chính vì đặc tính cộng dồn của nó.

Dưới đây là một số ví dụ về cách giải thích độ biến thiên trong thực tế:

• Trong giáo dục: độ biến thiên điểm số thấp cho thấy học sinh đạt kết quả đồng đều.
• Trong tài chính: cổ phiếu có độ biến thiên cao thể hiện mức độ biến động lớn, rủi ro cao.
• Trong kỹ thuật: độ biến thiên đo sai số sản xuất giữa các linh kiện.

Phân biệt độ biến thiên và độ lệch chuẩn

Độ biến thiên và độ lệch chuẩn thường bị nhầm lẫn vì liên quan mật thiết. Thực tế, độ lệch chuẩn $\sigma$ là căn bậc hai của độ biến thiên:

$\sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}$

Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với dữ liệu gốc, do đó dễ hiểu và thường được sử dụng để mô tả độ phân tán trong báo cáo, biểu đồ hoặc phân tích thực nghiệm. Ngược lại, độ biến thiên thuận tiện hơn cho các phép biến đổi toán học, đặc biệt trong các mô hình tối ưu hóa và giải tích thống kê.

Bảng dưới đây so sánh hai đại lượng này:

Tiêu chí	Độ biến thiên	Độ lệch chuẩn
Định nghĩa	$\mathbb{E}[(X - \mu)^2]$	$\sqrt{\mathrm{Var}(X)}$
Đơn vị	Bình phương đơn vị dữ liệu	Cùng đơn vị với dữ liệu
Ứng dụng	Toán học, phân tích phương sai	Thực tiễn, báo cáo thống kê

Độ biến thiên của tổng và trung bình

Độ biến thiên có một số tính chất đại số quan trọng giúp đơn giản hóa phân tích trong thống kê. Đặc biệt, khi làm việc với tổng hoặc trung bình của các biến ngẫu nhiên, các quy tắc sau thường được áp dụng. Với hai biến ngẫu nhiên độc lập $X$ và $Y$:

$\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y)$

Nếu $X_1, X_2, ..., X_n$ là các biến độc lập cùng phân phối, và $\bar{X}$ là trung bình của chúng, thì độ biến thiên của trung bình là:

$\mathrm{Var}(\bar{X}) = \frac{\mathrm{Var}(X)}{n}$

Kết quả này cho thấy khi kích thước mẫu tăng, độ biến thiên của trung bình giảm. Đây là nền tảng cho việc sử dụng mẫu lớn để đạt được ước lượng chính xác hơn trong thống kê và học máy.

Một tính chất nữa là:

$\mathrm{Var}(aX + b) = a^2 \mathrm{Var}(X)$

Điều này có ý nghĩa trong các phép biến đổi dữ liệu tuyến tính, ví dụ như chuẩn hóa hoặc tính sai số của các chỉ số biến đổi theo thang đo.

Độ biến thiên trong thống kê mô tả và suy luận

Trong thống kê mô tả, độ biến thiên là một trong những chỉ số phổ biến để đo lường tính phân tán. Nó được sử dụng song song với các chỉ số vị trí như trung bình, trung vị và các chỉ số phân vị như IQR để mô tả đầy đủ tập dữ liệu.

Trong thống kê suy luận, độ biến thiên đóng vai trò then chốt trong việc xây dựng khoảng tin cậy, kiểm định giả thuyết và phân tích phương sai. Các kiểm định như F-test dựa trên tỷ lệ giữa hai độ biến thiên để xác định xem hai nhóm có mức độ phân tán khác nhau một cách có ý nghĩa thống kê hay không.

Ví dụ, trong phân tích phương sai một chiều (ANOVA), tổng độ biến thiên được chia thành hai phần: độ biến thiên giữa các nhóm và độ biến thiên trong nhóm:

$\mathrm{TSS} = \mathrm{BSS} + \mathrm{WSS}$

Tỷ lệ giữa chúng là cơ sở để kiểm định giả thuyết về sự khác biệt trung bình giữa các nhóm. Việc hiểu và áp dụng đúng độ biến thiên giúp cải thiện độ tin cậy và hiệu quả của các phân tích thống kê.

Ứng dụng trong học máy và phân tích dữ liệu

Trong học máy (machine learning), độ biến thiên đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích hiệu suất mô hình. Cụ thể, trong decomposition của sai số tổng thể, có ba thành phần: phương sai (variance), độ chệch (bias), và nhiễu (noise). Sự đánh đổi giữa bias và variance là một khái niệm cơ bản trong tối ưu hóa mô hình.

Mô hình có độ biến thiên cao sẽ thay đổi mạnh theo tập dữ liệu huấn luyện – hiện tượng này gọi là quá khớp (overfitting). Ngược lại, mô hình có độ biến thiên thấp nhưng sai số cao thường không đủ linh hoạt để học từ dữ liệu – gọi là thiếu khớp (underfitting).

Độ biến thiên cũng là thước đo quan trọng trong phân tích thành phần chính (PCA – Principal Component Analysis). Trong PCA, các thành phần chính được sắp xếp theo thứ tự độ biến thiên mà chúng giải thích. Thành phần có độ biến thiên lớn nhất thường chứa thông tin phân biệt dữ liệu mạnh mẽ nhất.

• Variance thresholding: lọc đặc trưng có độ biến thiên thấp – thường là nhiễu.
• PCA: chọn các trục chính có độ biến thiên lớn nhất để giảm chiều dữ liệu.

Công cụ như scikit-learn PCA cho phép theo dõi tỷ lệ độ biến thiên được giữ lại theo số thành phần.

Độ biến thiên trong tài chính và kinh tế

Trong kinh tế – tài chính, độ biến thiên là chỉ số mô tả mức độ rủi ro của một tài sản hoặc danh mục đầu tư. Cổ phiếu có độ biến thiên cao thường có biến động mạnh và tiềm ẩn rủi ro lớn, trong khi tài sản ổn định như trái phiếu chính phủ thường có độ biến thiên thấp hơn.

Phân tích độ biến thiên còn được dùng để:

• Tính toán hệ số beta trong mô hình CAPM
• Đánh giá hiệu quả danh mục theo chỉ số Sharpe
• Tối ưu hóa phân bổ tài sản theo mô hình Markowitz

Trong các chiến lược đầu tư, nhà quản lý thường phải cân nhắc giữa lợi suất kỳ vọng và độ biến thiên, thông qua công cụ đo lường như đường biên hiệu quả (efficient frontier). Trang Investopedia cung cấp các ví dụ chi tiết và công thức tài chính liên quan đến độ biến thiên.

Hạn chế và các chỉ số thay thế

Mặc dù hữu ích, độ biến thiên có một số hạn chế. Đầu tiên, nó rất nhạy với các giá trị ngoại lai. Một vài điểm cực trị có thể làm tăng đáng kể giá trị độ biến thiên, dẫn đến hiểu sai về mức độ phân tán thực sự của dữ liệu.

Thứ hai, vì đơn vị của độ biến thiên là bình phương đơn vị gốc, nó khó so sánh giữa các tập dữ liệu có đơn vị khác nhau. Trong trường hợp đó, hệ số biến thiên (coefficient of variation – CV) là giải pháp tốt hơn. CV được định nghĩa như sau:

$\mathrm{CV} = \frac{\sigma}{\mu}$

CV là đại lượng không đơn vị, dùng để so sánh mức độ biến động tương đối giữa các tập dữ liệu khác nhau. Ngoài ra, một số chỉ số khác như độ lệch tuyệt đối trung bình (MAD) hoặc khoảng tứ phân vị (IQR) cũng được sử dụng thay thế độ biến thiên khi làm việc với phân phối không chuẩn hoặc có đuôi dài.

Tài liệu tham khảo

1. Casella, G., & Berger, R. L. (2002). Statistical Inference. Duxbury Press.
2. Rice, J. A. (2006). Mathematical Statistics and Data Analysis. Cengage Learning.
3. Montgomery, D. C., & Runger, G. C. (2014). Applied Statistics and Probability for Engineers. Wiley.
4. Investopedia. Variance. https://www.investopedia.com/terms/v/variance.asp
5. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/
6. scikit-learn documentation. PCA. https://scikit-learn.org/